テンソルを勉強する２（一次形式について）

一般相対論を勉強するぞ 物理・数学

この記事では一次形式について勉強します。一次形式は共変ベクトルや余接ベクトルとも言います。いろいろ言い方はあるみたいですが（そしてそれらは微妙にニュアンスが違うっぽいですが）、とりあえず以下では一次形式という呼び方で統一します。
一次形式をすごく大雑把に言ってしまえば、ベクトルを引数に取る線形の実数値関数です。ベクトルを実数に対応させる関数があって、しかもそれは線形関数になっている、というただそれだけです。一応以下にちゃんと定義しておきます。

定義

{\displaystyle V }をベクトル空間とする。{\displaystyle V }上の一次形式{\displaystyle \tilde{p} }とは{\displaystyle V }から{\displaystyle \mathbb{R} }への写像
\begin{align}
\tilde{p} : V \to\mathbb{R}
\end{align}
であって、{\displaystyle \forall X,Y \in V} と{\displaystyle \forall a,b \in \mathbb{R}}について
\begin{align}
\tilde{p}(aX+bY) = a\tilde{p}(X) + b\tilde{p}(Y)
\end{align}
を満たすものである。

{\displaystyle V }上の一次形式にはいろんなものが考えられますね。たとえばどのベクトルにも0を対応させるもの（テキトーに{\displaystyle \tilde{p}^0 }と名付けます）だったり、ベクトルの絶対値を対応させるもの（同じくテキトーに{\displaystyle \tilde{p}^{abs} }と名付けます）だったり…とまぁいろいろあるわけです。それら{\displaystyle V }上の一次形式を全てひっくるめた集合を{\displaystyle V^* }と書くことにします。{\displaystyle \tilde{p}^0,\tilde{p}^{abs} \in V^* }ってわけです。

さて、ここで一次形式の間に和とスカラー倍を定義します。

定義

{\displaystyle \forall \tilde{p},\tilde{p}^1,\tilde{p}^2 \in V^*} と{\displaystyle \forall a\in \mathbb{R}}について
\begin{align}
(\tilde{p}^1+\tilde{p}^2)(X) &\overset{def}{=} \tilde{p}^1(X) + \tilde{p}^2(X)\\
(a\tilde{p})(X) &\overset{def}{=} a\tilde{p}(X)
\end{align}

これによって{\displaystyle V^* }もまたベクトル空間になります。

証明

定義を確認すれば自明なので省略
いつか更新するかも

次に双対基底について解説します。
で、いきなり定義から入ります。

定義

任意の基底{\displaystyle \{\vec{e}_\nu\} }に対し、以下のような一次形式を定義する。
\begin{align}
\tilde{\omega}^\mu(\vec{e}_\nu) \overset{def}{=} \delta^\mu_\nu
\end{align}

このとき、一次形式の集合{\displaystyle \{\tilde{\omega}^\mu\} }は{\displaystyle V^* }の基底になります。

証明

（１） {\displaystyle \{\tilde{\omega}^\mu\} }が線形独立であること
（２） {\displaystyle V^* }に属する任意の一次形式{\displaystyle \tilde{p}}が{\displaystyle \{\tilde{\omega}^\mu\} }の線形結合、すなわち
\begin{align}
\tilde{p} = p_\mu \tilde{\omega}^\mu
\end{align}
で表せること
の2点を証明すれば、「一次形式の集合{\displaystyle \{\tilde{\omega}^\mu\} }は{\displaystyle V^* }の基底になっている」ということを証明したことになります。

（１）の証明

基底の定義より
\begin{align}
a_1\omega^1 + a_2\omega^2 + ... + a_{\mu}\omega^\mu = 0 \tag{a}
\end{align}
と仮定して、
\begin{align}
a_\nu = 0 ~~~(\nu = 1,2,..,\mu) \tag{b}
\end{align}
になることを示せばよい。
(a)に引数として{\displaystyle \vec{e}_\nu }（{\displaystyle \nu }は任意）を指定すると、
\begin{align}
a_\mu \omega^\mu(\vec{e}_\nu) &= 0 \\
\Leftrightarrow a_\mu \delta^\mu_\nu &= 0 \\
\Leftrightarrow a_\nu &= 0
\end{align}
となり、(b)が示せた{\displaystyle \square }



（２）の証明
任意の{\displaystyle \tilde{p} \in V^* }に対して、{\displaystyle \tilde{p}(\vec{e}_\mu) = p_\mu}\tag{c}
とおく。このとき、
\begin{align}
(p_\nu \tilde{\omega}^\nu)(\vec{e}_\mu) = p_\nu \delta^\nu_\mu = p_\mu \tag{d}
\end{align}
(c)と(d)を比べると、
\begin{align}
\tilde{p} = p_\mu \tilde{\omega}^\mu
\end{align}
{\displaystyle \tilde{p} }は任意だったので、{\displaystyle V^* }に属する任意の一次形式{\displaystyle \tilde{p}}が{\displaystyle \{\tilde{\omega}^\mu\} }の線形結合で表せることを証明できた。{\displaystyle \square }

これにより任意の一次形式{\displaystyle \tilde{p}\in V^* }は{\displaystyle \{\tilde{\omega}^\mu\} }の線形結合で書けることが分かります。
すなわち、
\begin{align}
\tilde{p} = p_\mu \tilde{\omega}^\mu
\end{align}
{\displaystyle p_\mu }は成分であり、(c)から分かるとおり引数に基底ベクトルを取ると得られます。
{\displaystyle \{\tilde{\omega}^\mu\} }のことを{\displaystyle \{\vec{e}_\mu \}} の双対基底と言います。

次回：テンソルを勉強する３（一次形式の変換規則について）