テンソルを勉強する３（一次形式の変換について）
前回に続き一次形式についてです。
今回は一次形式の基底と成分の変換性を調べます。テンソルを勉強する１（ベクトルについて）の一次形式版です。
この記事のポイント
\begin{align}
\tilde{\omega}'^{\nu'} &= \Lambda'^{\nu'}_\mu \tilde{\omega}^\mu\\
p'_{\nu'} &= \Lambda_{\nu'}^\mu p_\mu \\
\tilde{\omega}^{\mu} &={\Lambda}^{\mu}_{\nu'} \tilde{\omega}'^{\nu'} \\
p_{\nu} &= {\Lambda'}^{\mu'}_{\nu} p'_{\mu'}
\end{align}
以下説明
まずはベクトルの変換規則をおさらいします。
ベクトルの基底と成分の変換則
を基底ベクトル、
を成分、基底間の変換行列を
、その逆行列を
とするときに以下の関係式が成り立つ。
\begin{align}
\vec{e}_{\nu'} &=\Lambda^\mu_{\nu'} \vec{e}_\mu \tag{1}\\
A^{\nu'} &={\Lambda'}^{\nu'}_\mu A^\mu \tag{2}\\
\vec{e}_\mu &= {\Lambda'}^{\nu'}_{\mu} \vec{e}_{\nu'} \tag{3}\\
A^\mu &= \Lambda_{\nu'}^\mu{A^{\nu'}} \tag{4}\\
\\
{\Lambda'}^\nu_\lambda\Lambda^\mu_\nu &= {\Lambda'}^\mu_\nu\Lambda^\nu_\lambda = \delta^\mu_\lambda \tag{5}\\
\end{align}
いま、ベクトル空間の基底を2種類選び、それらを
とします。そして、それぞれの基底に対する双対基底を
とします。
すると、任意のベクトル
\begin{align}
\vec{v}(\in V) = v^\alpha \vec{e}_\alpha = v^{\alpha'} \vec{e}'_{\alpha'}
\end{align}
に対し、
\begin{align}
\tilde{\omega}^\alpha(\vec{v}) &= v^\alpha \tag{6} \\
\tilde{\omega}'^{\alpha'}(\vec{v}) &= v^{\alpha'} \tag{7}
\end{align}
が得られます。（双対基底の定義より。前記事参照）
さて、の間には(2)の関係があるので、
\begin{align}
v^{\alpha'} &={\Lambda'}^{\alpha'}_\beta v^\beta \tag{2'}\\
\end{align}
が成り立ち、これに(6), (7)を代入すると
\begin{align}
\tilde{\omega}'^{\alpha'}(\vec{v}) &={\Lambda'}^{\alpha'}_\beta \tilde{\omega}^\beta(\vec{v}) \\
\end{align}
は任意だったため、すなわち
\begin{align}
\tilde{\omega}'^{\alpha'} &={\Lambda'}^{\alpha'}_\beta \tilde{\omega}^\beta \tag{8}
\end{align}
となり、双対基底間の変換規則を得られます。
次に成分の変換規則を求めます。
任意の一次形式
\begin{align}
\tilde{p}(\in V^*) = p_\beta \tilde{\omega}^\beta = p'_{\alpha'} \tilde{\omega}'^{\alpha'}
\end{align}
に対し(8)を代入すると
\begin{align}
\Leftrightarrow p_\beta \tilde{\omega}^\beta &= p'_{\alpha'} ({\Lambda'}^{\alpha'}_\beta \tilde{\omega}^\beta )\\
\Leftrightarrow p_\beta \tilde{\omega}^\beta &= ( {\Lambda'}^{\alpha'}_\beta p'_{\alpha'} ) \tilde{\omega}^\beta
\end{align}
すなわち、
\begin{align}
p_\beta &= {\Lambda'}^{\alpha'}_\beta p'_{\alpha'} \tag{9}
\end{align}
となり、一次形式の成分の変換規則を求めることができました。
(8),(9)に をかけてやれば(5)の関係から
\begin{align}
\tilde{\omega}^{\mu} &={\Lambda}^{\mu}_{\alpha'} \tilde{\omega}^{\alpha'} \tag{10} \\
p_{\alpha'} &= {\Lambda'}^{\mu}_{\alpha'} p_{\mu} \tag{11}
\end{align}
が得られます。
