テンソルを勉強する１（ベクトルについて）
これから何回かに渡ってテンソルのアレコレをまとめます。
テンソルって添字がいっぱいくっついていて、変換規則とか反変・共変とかがややこしいアレです。
このようなややこしいテンソルを「とりあえずこのルールだけ知ってれば何とかなるぞ」レベルに上げるのがこれからの目標です。
この記事のポイント
ベクトルの基底と成分の変換則
を基底ベクトル、
を成分、基底間の変換行列を
、その逆行列を
とするときに以下の関係式が成り立つ。
\begin{align}
\vec{e}_{\nu'} &=\Lambda^\mu_{\nu'} \vec{e}_\mu\\
A^{\nu'} &={\Lambda'}^{\nu'}_\mu A^\mu\\
\vec{e}_\mu &= {\Lambda'}^{\nu'}_{\mu} \vec{e}_{\nu'}\\
A^\mu &= \Lambda_{\nu'}^\mu{A^{\nu'}} \\
\\
{\Lambda'}^\nu_\lambda\Lambda^\mu_\nu &= {\Lambda'}^\mu_\nu\Lambda^\nu_\lambda = \delta^\mu_\lambda
\end{align}
以下説明
あるベクトルを座標系
で表すと
\begin{align}
\vec{A}
&= {A^0} \vec{e}_0 + {A^1} \vec{e}_1 +{A^2} \vec{e}_2 +{A^3} \vec{e}_3\\
&= \sum_{\mu=0} {A^\mu} \vec{e}_\mu\tag{1}
\end{align}
と、基底の線形結合で書けます。
は成分です。
同じ要領で、別の基底を使って表すと
\begin{align}
\vec{A}
&= {A'^0} \vec{e'}_0 + {A'^1} \vec{e'}_1 +{A'^2} \vec{e'}_2 +{A'^3} \vec{e'}_3\\
&= \sum_{\mu'=0} {A^{\mu'}} \vec{e}_{\mu'}\tag{2}
\end{align}
となります。
このように任意のベクトルは基底と成分のセットを使って複数の表し方ができます。それと以後はアインシュタインの記法を使うことにします。（上付きの添字と下付きの添字で同じものがあったらそれらは和をとるっていうアレです。詳しくはググってください。）
さて、基底ベクトルも一つのベクトルですから座標系
で
\begin{align}
\vec{e}_0' &= \Lambda^0_0\vec{e}_0 +\Lambda^1_0\vec{e}_1 +\Lambda^2_0\vec{e}_2 +\Lambda^3_0\vec{e}_3\\
\vec{e}_1' &= \Lambda^0_1\vec{e}_0 +\Lambda^1_1\vec{e}_1 +\Lambda^2_1\vec{e}_2 +\Lambda^3_1\vec{e}_3\\
\vec{e}_2' &= \Lambda^0_2\vec{e}_0 +\Lambda^1_2\vec{e}_1 +\Lambda^2_2\vec{e}_2 +\Lambda^3_2\vec{e}_3\\
\vec{e}_3' &= \Lambda^0_3\vec{e}_0 +\Lambda^1_3\vec{e}_1 +\Lambda^2_3\vec{e}_2 +\Lambda^3_3\vec{e}_3\\
\end{align}
と、基底の線形結合で書けるはずです。
まとめて書けば、
\begin{align}
\vec{e}_{\nu'} = {\Lambda^\mu_{\nu'}} \vec{e}_\mu\tag{3}
\end{align}
となります。は変換係数をまとめた行列になります。まとめて表すと以下のようになります。
\begin{align}
\begin{pmatrix}
\vec{e}_0'\\
\vec{e}_1'\\
\vec{e}_2'\\
\vec{e}_3'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
{\Lambda^0_0} & {\Lambda^1_0} &{\Lambda^2_0} &{\Lambda^3_0}\\
{\Lambda^0_1} & {\Lambda^1_1} &{\Lambda^2_1} &{\Lambda^3_1}\\
{\Lambda^0_2} & {\Lambda^1_2} &{\Lambda^2_2} &{\Lambda^3_2}\\
{\Lambda^0_3} & {\Lambda^1_3} &{\Lambda^2_3} &{\Lambda^3_3}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\vec{e}_0\\
\vec{e}_1\\
\vec{e}_2\\
\vec{e}_3
\end{pmatrix}
\end{align}
さての逆行列を
とし、(3)の両辺に左からかけると、
\begin{align}
\vec{e}_\mu = {\Lambda'}^{\nu'}_{\mu} \vec{e}_{\nu'}\tag{4}
\end{align}
となります。
また逆行列の定義から
\begin{align}
{\Lambda'}^\nu_\lambda\Lambda^\mu_\nu = {\Lambda'}^\mu_\nu\Lambda^\nu_\lambda = \delta^\mu_\lambda\tag{5}
\end{align}
となります。
(3)を(2)に代入してやると
\begin{align}
\vec{A}
&= {A^{\nu'}} \vec{e}_{\nu'}\\
&= {A^{\nu'}} (\Lambda^\mu_{\nu'} \vec{e}_\mu)\\
&= (\Lambda_{\nu'}^\mu{A^{\nu'}} )\vec{e}_\mu\\ \tag{6}
\end{align}
(1)と(6)を比較すると
\begin{align}
A^\mu = \Lambda_{\nu'}^\mu{A^{\nu'}} \tag{7}
\end{align}
という変換をすることが分かります。
を(7)の両辺にかけると、
\begin{align}
{\Lambda'}^{\lambda'}_\mu A^\mu = {\Lambda'}^{\lambda'}_\mu\Lambda_{\nu'}^\mu{A^{\nu'}}\\
{\Lambda'}^{\lambda'}_\mu A^\mu = \delta^{\lambda'}_{\nu'}{A^{\nu'}}\\
{\Lambda'}^{\lambda'}_\mu A^\mu = {A^{\lambda'}}\\
\end{align}
添字を入れ替えてやれば、すなわち
\begin{align}
A^{\nu'} = {\Lambda'}_\mu^{\nu'}{A^\mu} \tag{8}
\end{align}
