テンソルを勉強する5(テンソルの変換規則について)

今回はテンソルの変換規則について

この記事のポイント

基底テンソルの変換規則

\begin{align}
& \tilde{\omega}^{\alpha'_1} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{\alpha'_p} \otimes \vec{e}_{\beta'_1} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{\beta'_q} \\
&= \Lambda'^{\alpha'}_{\mu_1} \cdots\Lambda'^{\alpha'}_{\mu_p} \Lambda^{\nu_1}_{\beta'_1} \cdots\Lambda^{\nu_q}_{\beta'_q} \tilde{\omega}^{\mu_1} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{\mu_p} \otimes \vec{e}_{\nu_1} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{\nu_q} \\
\end{align}


テンソルの成分の変換規則

\begin{align}
t^{\alpha'_1 \cdots \alpha'_p}_{\beta'_1 \cdots \beta'_q}
= \Lambda'^{\alpha'}_{\mu_1} \cdots \Lambda'^{\alpha'}_{\mu_p} \Lambda^{\nu_1}_{\beta'_1} \cdots \Lambda^{\nu_q}_{\beta'_q} \ t^{\mu_1 \cdots \mu_p}_{\nu_1 \cdots \nu_q}
\end{align}

前回までにベクトルと一次形式の変換規則、そしてテンソルの一般的な考え方についてまとめました。それらを利用するだけで一般のテンソルの変換規則は簡単に導き出せます。
厄介なのは添字の煩雑さだけです笑 考え方はとても簡単です!

ではベクトルと一次形式の変換規則の復習から(『テンソルを勉強する1~3』参照)

ベクトルの基底と成分の変換則

\vec{e}_\muを基底ベクトル、A^\muを成分、基底間の変換行列を\Lambda、その逆行列\Lambda'とするときに以下の関係式が成り立つ。

\begin{align}
\vec{e}_{\nu'} &= \Lambda^\mu_{\nu'} \vec{e}_\mu\\
A^{\nu'} &={\Lambda'}^{\nu'}_\mu A^\mu\\
\vec{e}_\mu &= {\Lambda'}^{\nu'}_{\mu} \vec{e}_{\nu'}\\
A^\mu &= \Lambda_{\nu'}^\mu{A^{\nu'}} \\
\\
\end{align}

一次形式の基底と成分の変換則
\tilde{\omega}^\muを基底一次形式、p_\muを成分、上記基底ベクトルの変換行列を\Lambda、その逆行列\Lambda'とするときに以下の関係式が成り立つ。
\begin{align}
\tilde{\omega}'^{\nu'} &= \Lambda'^{\nu'}_\mu \tilde{\omega}^\mu\\
p'_{\nu'} &= \Lambda_{\nu'}^\mu p_\mu \\
\tilde{\omega}^{\mu} &={\Lambda}^{\mu}_{\nu'} \tilde{\omega}'^{\nu'} \\
p_{\nu} &= {\Lambda'}^{\mu'}_{\nu} p'_{\mu'}
\end{align}


また逆行列の定義より
\begin{align}
{\Lambda'}^\nu_\lambda\Lambda^\mu_\nu &= {\Lambda'}^\mu_\nu\Lambda^\nu_\lambda = \delta^\mu_\lambda
\end{align}

これらを利用して一般のテンソルの変換規則についてまとめます。
ポイントだけ述べると、任意のテンソルは基底テンソルの線形結合で表せるので、その基底テンソル上記の変換規則を当てはめてやれば自然と高階のテンソルの変換規則も得られる、という流れになります。

以下説明

テンソルの基底と成分の変換規則について


{\displaystyle V }{\displaystyle m }次元ベクトル空間、その双対空間を{\displaystyle V^* }とする。
また、{\displaystyle V }の基底をひとつ選びそれを{\displaystyle \{ \vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots ,\vec{e}_m \} }とし、双対基底を{\displaystyle \{ \tilde{\omega}^1,\tilde{\omega}^2,\cdots ,\tilde{\omega}^m \} }とする。
さらにこれとは別に{\displaystyle V }の基底をひとつ選びそれを{\displaystyle \{ \vec{e}_{1'},\vec{e}_{2'},\cdots ,\vec{e}_{m'} \} }とし、双対基底を{\displaystyle \{ \tilde{\omega}^{1'},\tilde{\omega}^{2'},\cdots ,\tilde{\omega}^{m'} \} }とする。
このとき{\displaystyle \{ \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} \} \ (1 \leq i_1,i_2, \cdots , i_p, j^1,j^2, \cdots , j^q \leq m)}、および{\displaystyle \{ \vec{e}_{k'_1} \otimes \vec{e}_{k'_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{k'_p} \otimes \tilde{\omega}^{l'^1} \otimes \tilde{\omega}^{l'^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{l'^q} \} \ (1' \leq k'_1,k'_2, \cdots , k'_p, l'^1,l'^2, \cdots , l'^q \leq m')}
{\displaystyle T^{(p,q)}(V) }の基底であり、任意の{\displaystyle t \in T^{(p,q)}(V) }
\begin{align}
t &= t^{i_1 i_2 \cdots i_p}_{j_1 j_2 \cdots j_q} \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} \tag{a}\\
&= t^{k'_1 k'_2 \cdots k'_p}_{l'_1 l'_2 \cdots l'_q} \vec{e}_{k'_1} \otimes \vec{e}_{k'_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{k'_p} \otimes \tilde{\omega}^{l'^1} \otimes \tilde{\omega}^{l'^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{l'^q} \tag{b}
\end{align}
と表せる。


基底テンソルは以下のような変換規則の関係になる。

\begin{align}
\tilde{\omega}^{\alpha'_1} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{\alpha'_p} \otimes \vec{e}_{\beta'_1} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{\beta'_q} &= \Lambda'^{\alpha'}_{\mu_1} \tilde{\omega}^{\mu_1} \otimes \cdots \otimes \Lambda'^{\alpha'}_{\mu_p} \tilde{\omega}^{\mu_p} \otimes \Lambda^{\nu_1}_{\beta'_1} \vec{e}_{\nu_1} \otimes \cdots \otimes \Lambda^{\nu_q}_{\beta'_q} \vec{e}_{\nu_q} \\
&= \Lambda'^{\alpha'}_{\mu_1} \cdots\Lambda'^{\alpha'}_{\mu_p} \Lambda^{\nu_1}_{\beta'_1} \cdots\Lambda^{\nu_q}_{\beta'_q} \tilde{\omega}^{\mu_1} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{\mu_p} \otimes \vec{e}_{\nu_1} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{\nu_q} \\
\end{align}



(a),(b) における成分は以下のような変換規則の関係になる。

\begin{align}
t^{\alpha'_1 \cdots \alpha'_p}_{\beta'_1 \cdots \beta'_q} &= t(\tilde{\omega}^{\alpha'_1} , \cdots , \tilde{\omega}^{\alpha'_p} , \vec{e}_{\beta'_1} ,\cdots , \vec{e}_{\beta'_q}) \\
&= t(\Lambda'^{\alpha'}_{\mu_1} \tilde{\omega}^{\mu_1}, \cdots, \Lambda'^{\alpha'}_{\mu_p} \tilde{\omega}^{\mu_p}, \Lambda^{\nu_1}_{\beta'_1} \vec{e}_{\nu_1}, \cdots, \Lambda^{\nu_q}_{\beta'_q} \vec{e}_{\nu_q}) \\
&= \Lambda'^{\alpha'}_{\mu_1} \cdots \Lambda'^{\alpha'}_{\mu_p} \Lambda^{\nu_1}_{\beta'_1} \cdots \Lambda^{\nu_q}_{\beta'_q} \ t(\tilde{\omega}^{\mu_1}, \cdots, \tilde{\omega}^{\mu_p}, \vec{e}_{\nu_1}, \cdots, \vec{e}_{\nu_q}) \\
&= \Lambda'^{\alpha'}_{\mu_1} \cdots \Lambda'^{\alpha'}_{\mu_p} \Lambda^{\nu_1}_{\beta'_1} \cdots \Lambda^{\nu_q}_{\beta'_q} \ t^{\mu_1 \cdots \mu_p}_{\nu_1 \cdots \nu_q}
\end{align}


以上です。あっさり終わりました。
次回は「テンソルを勉強する6(縮約について)」の ”予定”