テンソルを勉強する４（一般のテンソルについて）

この記事では一般のテンソルについて解説します。これまで見てきたベクトルとテンソルを組み合わせて多重線型写像を定義すると”あの忌々しい（？）”変換規則をもつ高階のテンソルが得られます。といっても変換規則については次回の記事で解説する予定なのでこの記事では一般のテンソルの概念についてだけ説明します。
ポイントさえ掴めれば見た目の仰々しさよりかは簡単に思えるはずです。（もちろん一般のテンソルについてちゃんと書こうとすれば添字の煩雑さに悩まされるのは事実ですが笑）
あと注意点としてはあくまでテンソルの代数的な側面だけをまとめるので、テンソル場に関係する話題（多様体や共変微分）は出てきません。

この記事のポイント

$V$ をベクトル空間、 $V^*$ をその双対空間とする。 $(m,n)$ テンソル $T$ とは $m$ 個の $V^*$ と $n$ 個の $V$ の直積から $\mathbb{R}$ への写像であり、各引数に対して線形なものである。すなわち、
\begin{align}
T:\overbrace{V^* \times V^* \times \cdots \times V^*}^{m}\overbrace{V\times V\times \cdots \times V}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\\
\end{align}

テンソル積とは $(m,n)$ テンソルと $(p,q)$ テンソルから新たに $(m+p,n+q)$ テンソルを作り出す演算のこと
\begin{align}
T \otimes U: \overbrace{V^* \times V^* \times \cdots \times V^*}^{m+p}\overbrace{V\times V\times \cdots \times V}^{n+q} \rightarrow \mathbb{R}\\
\end{align}

$V$ を $m$ 次元ベクトル空間、その双対空間を $V^*$ とする。
また、 $V$ の基底をひとつ選びそれを $\{ \vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots ,\vec{e}_m \}$ とし、双対基底を $\{ \tilde{\omega}^1,\tilde{\omega}^2,\cdots ,\tilde{\omega}^m \}$ とする。
このとき $\{ \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} \mid 1 \leq i_1,i_2, \cdots , i_p, j^1,j^2, \cdots , j^q \leq m \}$ は $T^{(p,q)}(V)$ の基底である。

テンソルの成分は引数に基底をとると得られる。
\begin{align}
t^{r_1 r_2 \cdots r_p}_{s_1 s_2 \cdots s_q} = t(\tilde{\omega}^{r^1} , \tilde{\omega}^{r^2} , \cdots , \tilde{\omega}^{r^p} , \vec{e}_{s_1} , \vec{e}_{s_2} , \cdots , \vec{e}_{s_q})
\end{align}

以下解説

準備（ベクトルの再定義）

さて、一般のテンソルを定義する前に、一つ準備します。
これまで見てきたベクトルを「一次形式を引数に取る実数値線形写像」と見なすことにします。これにより一般のテンソルを定義できるようになるので少し我慢してください。

定義
あるベクトル空間を $V$ 、その双対空間を $V^*$ とする。また $a,b \in \mathbb{R}$ とする。
一次形式 $\tilde{p} (\in V^*)$ を引数に取る実数値線形写像として任意のベクトル $\vec{v} (\in V)$ を以下のように定義する。
\begin{align}
\vec{v}: V^* \rightarrow \mathbb{R}\\
\\
\vec{v}(\tilde{p} ) \overset{def}{=} \tilde{p}(\vec{v})
\end{align}

すなわち、 $V$ の基底を一つ選びそれを $\{\vec{e}_\mu\}$ とし、その双対基底を $\{\tilde{\omega}^\mu\}$ とすると
\begin{align}
\vec{v}(\tilde{p} ) &= \tilde{p}(\vec{v})\\
&= (p_\mu \tilde{\omega}^\mu)(v^\nu\vec{e}_\nu)\\
&= p_\mu v^\nu(\tilde{\omega}^\mu)(\vec{e}_\nu)\\
&= p_\mu v^\nu(\delta^\mu_\nu)\\
&= p_\mu v^\mu
\end{align}
となります。また
\begin{align}
\vec{v}(a\tilde{p}_1 + b\tilde{p}_2) &= (a\tilde{p}^1 + b\tilde{p}^1)(\vec{v})\\
&= a(\tilde{p}^1)(\vec{v}) + b(\tilde{p}^2)(\vec{v})\\
&= a(\vec{v})(\tilde{p}^1) + b(\vec{v})(\tilde{p}^2)\\
\end{align}
と、線形性を自然に導くこともできます。
\begin{align}
(a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2)(\tilde{p}) = a\vec{v}_1(\tilde{p}) + b\vec{v}_2(\tilde{p})
\end{align}
も同様にして導けます。

一般のテンソルの定義

では、準備ができたところで一般のテンソルを以下のように定義します。

定義
$V$ をベクトル空間、 $V^*$ をその双対空間とする。 $(m,n)$ テンソル $T$ とは $m$ 個の $V^*$ と $n$ 個の $V$ の直積から $\mathbb{R}$ への写像であり、各引数に対して線形なものである。すなわち、
\begin{align}
T:\overbrace{V^* \times V^* \times \cdots \times V^*}^{m}\overbrace{V\times V\times \cdots \times V}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\\
\end{align}
で $\forall i,j(1\leq i \leq m, 1\leq j \leq n),\forall a,b\in\mathbb{R}$ に対して
\begin{align}
T(\tilde{p}^1, \cdots ,a\tilde{q}^i + b\tilde{r}^i, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots , \vec{v}_n)
&= aT(\tilde{p}^1, \cdots ,\tilde{q}^i, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots , \vec{v}_n)\\
&+ bT(\tilde{p}^1, \cdots ,\tilde{r}^i, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots , \vec{v}_n) \\
\newline
T(\tilde{p}^1, \cdots ,\tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots , a\vec{x}_j + b\vec{y}_j, \cdots ,\vec{v}_n)
&= aT(\tilde{p}^1, \cdots ,\tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots , \vec{x}_j, \cdots ,\vec{v}_n)\\
&+ bT(\tilde{p}^1, \cdots ,\tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots , \vec{y}_j, \cdots ,\vec{v}_n)
\end{align}
を満たすものである。
また $(m,n)$ テンソル $T$ 全体の集合を $T^{(m,n)}(V)$ と書く。

ちょっとややこしいですが、テンソルとは引数にベクトルや一次形式あるいはそれら両方を取る線形の実数値関数のことです。なので、前回と前々回にやった一次形式 $\tilde{p}$ は $(0,1)$ テンソル（ $\in T^{(0,1)}(V)$ ）ですし、先程学んだベクトル $\vec{v}$ は $(1,0)$ テンソル（ $\in T^{(1,0)}(V)$ ）になります。他にも後に学ぶ計量テンソルは $(0,2)$ テンソル（ $\in T^{(0,2)}(V)$ ）になります。

さて、次に今定義したテンソルの間に和とスカラー倍を定義して、 $T^{(m,n)}(V)$ もまたベクトル空間になることを確認します。

定義
$\forall T,U \in T^{(m,n)}(V) , \forall a \in \mathbb{R}$ に対し、和とスカラー倍を以下のように定義する。
\begin{align}
(T+U)(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots , \vec{v}_n) &\overset{def}{=} T(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots , \vec{v}_n) \\
&+ U(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots , \vec{v}_n )\\
(aT)(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots , \vec{v}_n) &\overset{def}{=} aT(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots , \vec{v}_n) \\
\end{align}

定理
$T^{(m,n)}(V)$ はベクトル空間である。

証明
面倒なので省略
あとで書くかも

次にテンソル積を定義します。

定義
$T \in T^{(m,n)}(V) , U \in T^{(p,q)}(V)$ の間のテンソル積 $\otimes$ を以下のように定義する。
\begin{align}
T \otimes U: \overbrace{V^* \times V^* \times \cdots \times V^*}^{m+p}\overbrace{V\times V\times \cdots \times V}^{n+q} \rightarrow \mathbb{R}\\
\end{align}
で、 $\forall \tilde{p} \in V^* , \forall \vec{v} \in V$ に対して
\begin{align}
&T \otimes U(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{p}^{m+p}, \vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_{n+q})\\
&= T(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_n) U(\tilde{p}^{m+1}, \cdots, \tilde{p}^{m+p}, \vec{v}_{n+1}, \cdots, \vec{v}_{n+q})
\end{align}
を満たす。

定理
$T \in T^{(m,n)}(V) , U \in T^{(p,q)}(V)$ とする。
テンソル積 $T \otimes U$ は $(m+p,n+q)$ テンソルになる。

証明
$\forall i(1\leq i \leq m),\forall a,b\in\mathbb{R}$ に対して
\begin{align}
&\ \ \ \ \ \ T \otimes U(\tilde{p}^1, \cdots, a\tilde{q}^i+b\tilde{r}^i, \cdots, \tilde{p}^{m+p}, \vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_{n+q})\\
&= T(\tilde{p}^1, \cdots, a\tilde{q}^i+b\tilde{r}^i, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_n)U(\tilde{p}^{m+1}, \cdots, \tilde{p}^{m+p}, \vec{v}_{n+1}, \cdots, \vec{v}_{n+q})\\
&= (aT(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{q}^i, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_n) + bT(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{r}^i, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_n))U(\tilde{p}^{m+1}, \cdots, \tilde{p}^{m+p}, \vec{v}_{n+1}, \cdots, \vec{v}_{n+q})\\
&= aT(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{q}^i, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_n)U(\tilde{p}^{m+1}, \cdots, \tilde{p}^{m+p}, \vec{v}_{n+1}, \cdots, \vec{v}_{n+q})\\
&+ bT(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{r}^i, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_n)U(\tilde{p}^{m+1}, \cdots, \tilde{p}^{m+p}, \vec{v}_{n+1}, \cdots, \vec{v}_{n+q}) \\
&= aT \otimes U(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{q}^i, \cdots, \tilde{p}^{m+p}, \vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_{n+q}) +bT \otimes U(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{r}^i, \cdots, \tilde{p}^{m+p}, \vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_{n+q})\\
\end{align}
$m+1\leq i \leq m+q$ の場合や引数が $\vec{x}_j+\vec{y}_j (1 \leq j \leq n+q)$ の場合も同様に示せる。
$\square$

テンソル積ってのは(m,n)テンソルと(p,q)テンソルから新たに(m+p, n+q)テンソルを作り出す演算のことです。そう難しいことではないはず…です。たぶん。
次はテンソル空間の基底について。証明は煩雑なので結果だけ抑えてればいいかも。

定理
$V$ を $m$ 次元ベクトル空間、その双対空間を $V^*$ とする。
また、 $V$ の基底をひとつ選びそれを $\{ \vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots ,\vec{e}_m \}$ とし、双対基底を $\{ \tilde{\omega}^1,\tilde{\omega}^2,\cdots ,\tilde{\omega}^m \}$ とする。
このとき $\{ \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} \mid 1 \leq i_1,i_2, \cdots , i_p, j^1,j^2, \cdots , j^q \leq m \}$ は $T^{(p,q)}(V)$ の基底である。

証明
(1) $\{ \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} \mid 1 \leq i_1,i_2, \cdots , i_p, j^1,j^2, \cdots , j^q \leq m \}$ は線形独立である。
(2) 任意の $t \in T^{(p,q)}(V)$ は $\{ \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} \mid 1 \leq i_1,i_2, \cdots , i_p, j^1,j^2, \cdots , j^q \leq m \}$ の線形結合で表せる。
の2つを示せばよい

(1)の証明
線形独立の定義より
\begin{align}
a^{i_1 i_2 \cdots i_p}_{j_1 j_2 \cdots j_q} \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} = 0 \\
\Rightarrow ( \forall i_1, i_2, \cdots ,i_p,j_1, j_2, \cdots, j_q) a^{i_1 i_2 \cdots i_p}_{j_1 j_2 \cdots j_q} = 0
\end{align}
を示せばよい。
いま引数に $( \tilde{\omega}^{r^1} , \tilde{\omega}^{r^2} , \cdots , \tilde{\omega}^{r^p} , \vec{e}_{s_1} , \vec{e}_{s_2} , \cdots , \vec{e}_{s_q} ) (1 \leq ,r^1,r^2, \cdots , r^p, s_1,s_2, \cdots , s_q \leq m でそれぞれ任意)$ を指定すると、
\begin{align}
&\ a^{i_1 i_2 \cdots i_p}_{j_1 j_2 \cdots j_q} \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} (\tilde{\omega}^{r^1} , \tilde{\omega}^{r^2} , \cdots , \tilde{\omega}^{r^p} , \vec{e}_{s_1} , \vec{e}_{s_2} , \cdots , \vec{e}_{s_q} ) \\
&= a^{i_1 i_2 \cdots i_p}_{j_1 j_2 \cdots j_q} \vec{e}_{i_1}(\tilde{\omega}^{r^1})\vec{e}_{i_2}(\tilde{\omega}^{r^2})\cdots\vec{e}_{i_p}(\tilde{\omega}^{r^p})\tilde{\omega}^{j^1}(\vec{e}_{s_1})\tilde{\omega}^{j^2}(\vec{e}_{s_2})\cdots\tilde{\omega}^{j^q}(\vec{e}_{s_q})\\
&= a^{i_1 i_2 \cdots i_p}_{j_1 j_2 \cdots j_q} \delta_{i_1}^{r^1}\delta_{i_2}^{r^2} \cdots \delta_{i_p}^{r^p} \delta^{j^1}_{s_1} \delta^{j^2}_{s_2} \cdots \delta^{j^q}_{s_q} \\
&= a^{r_1 r_2 \cdots r_p}_{s_1 s_2 \cdots s_q} \\
&= 0
\end{align}
$r^1,r^2, \cdots , r^p, s_1,s_2, \cdots , s_q$ は任意だったので、したがって
\begin{align}
( \forall i_1, i_2, \cdots ,i_p,j_1, j_2, \cdots, j_q) \ a^{i_1 i_2 \cdots i_p}_{j_1 j_2 \cdots j_q} = 0
\end{align}

(2)の証明
\begin{align}
t(\tilde{\omega}^{r^1} , \tilde{\omega}^{r^2} , \cdots , \tilde{\omega}^{r^p} , \vec{e}_{s_1} , \vec{e}_{s_2} , \cdots , \vec{e}_{s_q}) = t^{r_1 r_2 \cdots r_p}_{s_1 s_2 \cdots s_q} \tag{a}
\end{align}
とおく。このとき
\begin{align}
& \ (t^{i_1 i_2 \cdots i_p}_{j_1 j_2 \cdots j_q} \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} )(\tilde{\omega}^{r^1} , \tilde{\omega}^{r^2} , \cdots , \tilde{\omega}^{r^p} , \vec{e}_{s_1} , \vec{e}_{s_2} , \cdots , \vec{e}_{s_q} )\\
&= t^{i_1 i_2 \cdots i_p}_{j_1 j_2 \cdots j_q} \delta_{i_1}^{r^1}\delta_{i_2}^{r^2} \cdots \delta_{i_p}^{r^p} \delta^{j^1}_{s_1} \delta^{j^2}_{s_2} \cdots \delta^{j^q}_{s_q} \\
&= t^{r_1 r_2 \cdots r_p}_{s_1 s_2 \cdots s_q} \tag{b}
\end{align}
(a)と(b)より
\begin{align}
& \ t(\tilde{\omega}^{r^1} , \tilde{\omega}^{r^2} , \cdots , \tilde{\omega}^{r^p} , \vec{e}_{s_1} , \vec{e}_{s_2} , \cdots , \vec{e}_{s_q}) \\
&= (t^{i_1 i_2 \cdots i_p}_{j_1 j_2 \cdots j_q} \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} )(\tilde{\omega}^{r^1} , \tilde{\omega}^{r^2} , \cdots , \tilde{\omega}^{r^p} , \vec{e}_{s_1} , \vec{e}_{s_2} , \cdots , \vec{e}_{s_q} )
\end{align}
すなわち
\begin{align}
t = t^{i_1 i_2 \cdots i_p}_{j_1 j_2 \cdots j_q} \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} \tag{c}
\end{align}
この式は任意の $t \in T^{(p,q)}(V)$ が $t^{r_1 r_2 \cdots r_p}_{s_1 s_2 \cdots s_q}$ を成分として $\{ \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} \mid 1 \leq i_1,i_2, \cdots , i_p, j^1,j^2, \cdots , j^q \leq m \}$ の線形結合で表せることを意味する。

以上(1)(2)を示したことにより、 $\{ \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} \mid 1 \leq i_1,i_2, \cdots , i_p, j^1,j^2, \cdots , j^q \leq m \}$ は $T^{(p,q)}(V)$ の基底であることを示せた。
$\square$

(a), (c)から分かるとおり、テンソルの成分は引数に基底をとると得られます。
\begin{align}
t^{r_1 r_2 \cdots r_p}_{s_1 s_2 \cdots s_q} = t(\tilde{\omega}^{r^1} , \tilde{\omega}^{r^2} , \cdots , \tilde{\omega}^{r^p} , \vec{e}_{s_1} , \vec{e}_{s_2} , \cdots , \vec{e}_{s_q})
\end{align}

ふー疲れた。
とりあえずテンソルの代数的な側面だけをまとめました。
次は基底を変換したときにどういう変換規則になるのかをまとめます。

次回：テンソルを勉強する５（テンソルの変換規則について）