2017-12-19

コケ栽培日記スタート

最近苔の栽培を始めたので観察記録をつけることにしました。

ホソバオキナゴケ
いわゆる「山苔」というやつですね。採取したときにはもっと薄緑色で乾燥してたんですが水をやりすぎてしまって少し黒ずんでしまいました。ここから回復してくれればいいんですが。
f:id:muneniku5656:20171219165120j:plain

スナゴケ
こちらもやや黒ずんでしまいましたが、そこそこ元気。新芽もいくつか出ました。
f:id:muneniku5656:20171219164833j:plain

タチゴケ
黒ずみがひどいです。最近は安定してきましたがどうなることやら。
f:id:muneniku5656:20171219164946j:plain

コスギゴケ
見た目が一番鮮やかなやつ。どういうわけかコスギゴケのケースだけカビもよく発生します。苔栽培難しい…
あとコホウオウゴケもわずかに混じってます。こやつらも育ってくれると嬉しい。
f:id:muneniku5656:20171219164910j:plain

ハイゴケ
ハイゴケは成長が早いはずなのに何の変化もないように見える。
f:id:muneniku5656:20171219164851j:plain

シノブゴケ
シノブゴケが一番調子がよいですね。どんどん成長してます。
f:id:muneniku5656:20171219165324j:plain

カモジゴケ１
f:id:muneniku5656:20171219165101j:plain

カモジゴケ２（左）とシッポゴケ？（右）
f:id:muneniku5656:20171219165041j:plain

ツルチョウチンゴケ１
f:id:muneniku5656:20171219165022j:plain

ツルチョウチンゴケ２
f:id:muneniku5656:20171219165004j:plain

2017-12-08

テンソルを勉強する５（テンソルの変換規則について）

一般相対論を勉強するぞ物理・数学

今回はテンソルの変換規則について

この記事のポイント

基底テンソルの変換規則
\begin{align}
& \tilde{\omega}^{\alpha'_1} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{\alpha'_p} \otimes \vec{e}_{\beta'_1} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{\beta'_q} \\
&= \Lambda'^{\alpha'}_{\mu_1} \cdots\Lambda'^{\alpha'}_{\mu_p} \Lambda^{\nu_1}_{\beta'_1} \cdots\Lambda^{\nu_q}_{\beta'_q} \tilde{\omega}^{\mu_1} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{\mu_p} \otimes \vec{e}_{\nu_1} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{\nu_q} \\
\end{align}

テンソルの成分の変換規則
\begin{align}
t^{\alpha'_1 \cdots \alpha'_p}_{\beta'_1 \cdots \beta'_q}
= \Lambda'^{\alpha'}_{\mu_1} \cdots \Lambda'^{\alpha'}_{\mu_p} \Lambda^{\nu_1}_{\beta'_1} \cdots \Lambda^{\nu_q}_{\beta'_q} \ t^{\mu_1 \cdots \mu_p}_{\nu_1 \cdots \nu_q}
\end{align}

前回までにベクトルと一次形式の変換規則、そしてテンソルの一般的な考え方についてまとめました。それらを利用するだけで一般のテンソルの変換規則は簡単に導き出せます。
厄介なのは添字の煩雑さだけです笑考え方はとても簡単です！

ではベクトルと一次形式の変換規則の復習から（『テンソルを勉強する１～３』参照）

ベクトルの基底と成分の変換則
$\vec{e}_\mu$ を基底ベクトル、 $A^\mu$ を成分、基底間の変換行列を $\Lambda$ 、その逆行列を $\Lambda'$ とするときに以下の関係式が成り立つ。

\begin{align}
\vec{e}_{\nu'} &= \Lambda^\mu_{\nu'} \vec{e}_\mu\\
A^{\nu'} &={\Lambda'}^{\nu'}_\mu A^\mu\\
\vec{e}_\mu &= {\Lambda'}^{\nu'}_{\mu} \vec{e}_{\nu'}\\
A^\mu &= \Lambda_{\nu'}^\mu{A^{\nu'}} \\
\\
\end{align}
一次形式の基底と成分の変換則
$\tilde{\omega}^\mu$ を基底一次形式、 $p_\mu$ を成分、上記基底ベクトルの変換行列を $\Lambda$ 、その逆行列を $\Lambda'$ とするときに以下の関係式が成り立つ。
\begin{align}
\tilde{\omega}'^{\nu'} &= \Lambda'^{\nu'}_\mu \tilde{\omega}^\mu\\
p'_{\nu'} &= \Lambda_{\nu'}^\mu p_\mu \\
\tilde{\omega}^{\mu} &={\Lambda}^{\mu}_{\nu'} \tilde{\omega}'^{\nu'} \\
p_{\nu} &= {\Lambda'}^{\mu'}_{\nu} p'_{\mu'}
\end{align}

また逆行列の定義より
\begin{align}
{\Lambda'}^\nu_\lambda\Lambda^\mu_\nu &= {\Lambda'}^\mu_\nu\Lambda^\nu_\lambda = \delta^\mu_\lambda
\end{align}

これらを利用して一般のテンソルの変換規則についてまとめます。
ポイントだけ述べると、任意のテンソルは基底テンソルの線形結合で表せるので、その基底テンソルに上記の変換規則を当てはめてやれば自然と高階のテンソルの変換規則も得られる、という流れになります。

以下説明

テンソルの基底と成分の変換規則について

$V$ を $m$ 次元ベクトル空間、その双対空間を $V^*$ とする。
また、 $V$ の基底をひとつ選びそれを $\{ \vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots ,\vec{e}_m \}$ とし、双対基底を $\{ \tilde{\omega}^1,\tilde{\omega}^2,\cdots ,\tilde{\omega}^m \}$ とする。
さらにこれとは別に $V$ の基底をひとつ選びそれを $\{ \vec{e}_{1'},\vec{e}_{2'},\cdots ,\vec{e}_{m'} \}$ とし、双対基底を $\{ \tilde{\omega}^{1'},\tilde{\omega}^{2'},\cdots ,\tilde{\omega}^{m'} \}$ とする。
このとき $\{ \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} \} \ (1 \leq i_1,i_2, \cdots , i_p, j^1,j^2, \cdots , j^q \leq m)$ 、および $\{ \vec{e}_{k'_1} \otimes \vec{e}_{k'_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{k'_p} \otimes \tilde{\omega}^{l'^1} \otimes \tilde{\omega}^{l'^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{l'^q} \} \ (1' \leq k'_1,k'_2, \cdots , k'_p, l'^1,l'^2, \cdots , l'^q \leq m')$
は $T^{(p,q)}(V)$ の基底であり、任意の $t \in T^{(p,q)}(V)$ は
\begin{align}
t &= t^{i_1 i_2 \cdots i_p}_{j_1 j_2 \cdots j_q} \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} \tag{a}\\
&= t^{k'_1 k'_2 \cdots k'_p}_{l'_1 l'_2 \cdots l'_q} \vec{e}_{k'_1} \otimes \vec{e}_{k'_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{k'_p} \otimes \tilde{\omega}^{l'^1} \otimes \tilde{\omega}^{l'^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{l'^q} \tag{b}
\end{align}
と表せる。

基底テンソルは以下のような変換規則の関係になる。
\begin{align}
\tilde{\omega}^{\alpha'_1} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{\alpha'_p} \otimes \vec{e}_{\beta'_1} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{\beta'_q} &= \Lambda'^{\alpha'}_{\mu_1} \tilde{\omega}^{\mu_1} \otimes \cdots \otimes \Lambda'^{\alpha'}_{\mu_p} \tilde{\omega}^{\mu_p} \otimes \Lambda^{\nu_1}_{\beta'_1} \vec{e}_{\nu_1} \otimes \cdots \otimes \Lambda^{\nu_q}_{\beta'_q} \vec{e}_{\nu_q} \\
&= \Lambda'^{\alpha'}_{\mu_1} \cdots\Lambda'^{\alpha'}_{\mu_p} \Lambda^{\nu_1}_{\beta'_1} \cdots\Lambda^{\nu_q}_{\beta'_q} \tilde{\omega}^{\mu_1} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{\mu_p} \otimes \vec{e}_{\nu_1} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{\nu_q} \\
\end{align}

(a),(b) における成分は以下のような変換規則の関係になる。
\begin{align}
t^{\alpha'_1 \cdots \alpha'_p}_{\beta'_1 \cdots \beta'_q} &= t(\tilde{\omega}^{\alpha'_1} , \cdots , \tilde{\omega}^{\alpha'_p} , \vec{e}_{\beta'_1} ,\cdots , \vec{e}_{\beta'_q}) \\
&= t(\Lambda'^{\alpha'}_{\mu_1} \tilde{\omega}^{\mu_1}, \cdots, \Lambda'^{\alpha'}_{\mu_p} \tilde{\omega}^{\mu_p}, \Lambda^{\nu_1}_{\beta'_1} \vec{e}_{\nu_1}, \cdots, \Lambda^{\nu_q}_{\beta'_q} \vec{e}_{\nu_q}) \\
&= \Lambda'^{\alpha'}_{\mu_1} \cdots \Lambda'^{\alpha'}_{\mu_p} \Lambda^{\nu_1}_{\beta'_1} \cdots \Lambda^{\nu_q}_{\beta'_q} \ t(\tilde{\omega}^{\mu_1}, \cdots, \tilde{\omega}^{\mu_p}, \vec{e}_{\nu_1}, \cdots, \vec{e}_{\nu_q}) \\
&= \Lambda'^{\alpha'}_{\mu_1} \cdots \Lambda'^{\alpha'}_{\mu_p} \Lambda^{\nu_1}_{\beta'_1} \cdots \Lambda^{\nu_q}_{\beta'_q} \ t^{\mu_1 \cdots \mu_p}_{\nu_1 \cdots \nu_q}
\end{align}

以上です。あっさり終わりました。
次回は「テンソルを勉強する６（縮約について）」の ”予定”

2017-12-07

テンソルを勉強する４（一般のテンソルについて）

一般相対論を勉強するぞ物理・数学

この記事では一般のテンソルについて解説します。これまで見てきたベクトルとテンソルを組み合わせて多重線型写像を定義すると”あの忌々しい（？）”変換規則をもつ高階のテンソルが得られます。といっても変換規則については次回の記事で解説する予定なのでこの記事では一般のテンソルの概念についてだけ説明します。
ポイントさえ掴めれば見た目の仰々しさよりかは簡単に思えるはずです。（もちろん一般のテンソルについてちゃんと書こうとすれば添字の煩雑さに悩まされるのは事実ですが笑）
あと注意点としてはあくまでテンソルの代数的な側面だけをまとめるので、テンソル場に関係する話題（多様体や共変微分）は出てきません。

この記事のポイント

$V$ をベクトル空間、 $V^*$ をその双対空間とする。 $(m,n)$ テンソル $T$ とは $m$ 個の $V^*$ と $n$ 個の $V$ の直積から $\mathbb{R}$ への写像であり、各引数に対して線形なものである。すなわち、
\begin{align}
T:\overbrace{V^* \times V^* \times \cdots \times V^*}^{m}\overbrace{V\times V\times \cdots \times V}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\\
\end{align}

テンソル積とは $(m,n)$ テンソルと $(p,q)$ テンソルから新たに $(m+p,n+q)$ テンソルを作り出す演算のこと
\begin{align}
T \otimes U: \overbrace{V^* \times V^* \times \cdots \times V^*}^{m+p}\overbrace{V\times V\times \cdots \times V}^{n+q} \rightarrow \mathbb{R}\\
\end{align}

$V$ を $m$ 次元ベクトル空間、その双対空間を $V^*$ とする。
また、 $V$ の基底をひとつ選びそれを $\{ \vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots ,\vec{e}_m \}$ とし、双対基底を $\{ \tilde{\omega}^1,\tilde{\omega}^2,\cdots ,\tilde{\omega}^m \}$ とする。
このとき $\{ \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} \mid 1 \leq i_1,i_2, \cdots , i_p, j^1,j^2, \cdots , j^q \leq m \}$ は $T^{(p,q)}(V)$ の基底である。

テンソルの成分は引数に基底をとると得られる。
\begin{align}
t^{r_1 r_2 \cdots r_p}_{s_1 s_2 \cdots s_q} = t(\tilde{\omega}^{r^1} , \tilde{\omega}^{r^2} , \cdots , \tilde{\omega}^{r^p} , \vec{e}_{s_1} , \vec{e}_{s_2} , \cdots , \vec{e}_{s_q})
\end{align}

以下解説

準備（ベクトルの再定義）

さて、一般のテンソルを定義する前に、一つ準備します。
これまで見てきたベクトルを「一次形式を引数に取る実数値線形写像」と見なすことにします。これにより一般のテンソルを定義できるようになるので少し我慢してください。

定義
あるベクトル空間を $V$ 、その双対空間を $V^*$ とする。また $a,b \in \mathbb{R}$ とする。
一次形式 $\tilde{p} (\in V^*)$ を引数に取る実数値線形写像として任意のベクトル $\vec{v} (\in V)$ を以下のように定義する。
\begin{align}
\vec{v}: V^* \rightarrow \mathbb{R}\\
\\
\vec{v}(\tilde{p} ) \overset{def}{=} \tilde{p}(\vec{v})
\end{align}

すなわち、 $V$ の基底を一つ選びそれを $\{\vec{e}_\mu\}$ とし、その双対基底を $\{\tilde{\omega}^\mu\}$ とすると
\begin{align}
\vec{v}(\tilde{p} ) &= \tilde{p}(\vec{v})\\
&= (p_\mu \tilde{\omega}^\mu)(v^\nu\vec{e}_\nu)\\
&= p_\mu v^\nu(\tilde{\omega}^\mu)(\vec{e}_\nu)\\
&= p_\mu v^\nu(\delta^\mu_\nu)\\
&= p_\mu v^\mu
\end{align}
となります。また
\begin{align}
\vec{v}(a\tilde{p}_1 + b\tilde{p}_2) &= (a\tilde{p}^1 + b\tilde{p}^1)(\vec{v})\\
&= a(\tilde{p}^1)(\vec{v}) + b(\tilde{p}^2)(\vec{v})\\
&= a(\vec{v})(\tilde{p}^1) + b(\vec{v})(\tilde{p}^2)\\
\end{align}
と、線形性を自然に導くこともできます。
\begin{align}
(a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2)(\tilde{p}) = a\vec{v}_1(\tilde{p}) + b\vec{v}_2(\tilde{p})
\end{align}
も同様にして導けます。

一般のテンソルの定義

では、準備ができたところで一般のテンソルを以下のように定義します。

定義
$V$ をベクトル空間、 $V^*$ をその双対空間とする。 $(m,n)$ テンソル $T$ とは $m$ 個の $V^*$ と $n$ 個の $V$ の直積から $\mathbb{R}$ への写像であり、各引数に対して線形なものである。すなわち、
\begin{align}
T:\overbrace{V^* \times V^* \times \cdots \times V^*}^{m}\overbrace{V\times V\times \cdots \times V}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\\
\end{align}
で $\forall i,j(1\leq i \leq m, 1\leq j \leq n),\forall a,b\in\mathbb{R}$ に対して
\begin{align}
T(\tilde{p}^1, \cdots ,a\tilde{q}^i + b\tilde{r}^i, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots , \vec{v}_n)
&= aT(\tilde{p}^1, \cdots ,\tilde{q}^i, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots , \vec{v}_n)\\
&+ bT(\tilde{p}^1, \cdots ,\tilde{r}^i, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots , \vec{v}_n) \\
\newline
T(\tilde{p}^1, \cdots ,\tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots , a\vec{x}_j + b\vec{y}_j, \cdots ,\vec{v}_n)
&= aT(\tilde{p}^1, \cdots ,\tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots , \vec{x}_j, \cdots ,\vec{v}_n)\\
&+ bT(\tilde{p}^1, \cdots ,\tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots , \vec{y}_j, \cdots ,\vec{v}_n)
\end{align}
を満たすものである。
また $(m,n)$ テンソル $T$ 全体の集合を $T^{(m,n)}(V)$ と書く。

ちょっとややこしいですが、テンソルとは引数にベクトルや一次形式あるいはそれら両方を取る線形の実数値関数のことです。なので、前回と前々回にやった一次形式 $\tilde{p}$ は $(0,1)$ テンソル（ $\in T^{(0,1)}(V)$ ）ですし、先程学んだベクトル $\vec{v}$ は $(1,0)$ テンソル（ $\in T^{(1,0)}(V)$ ）になります。他にも後に学ぶ計量テンソルは $(0,2)$ テンソル（ $\in T^{(0,2)}(V)$ ）になります。

さて、次に今定義したテンソルの間に和とスカラー倍を定義して、 $T^{(m,n)}(V)$ もまたベクトル空間になることを確認します。

定義
$\forall T,U \in T^{(m,n)}(V) , \forall a \in \mathbb{R}$ に対し、和とスカラー倍を以下のように定義する。
\begin{align}
(T+U)(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots , \vec{v}_n) &\overset{def}{=} T(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots , \vec{v}_n) \\
&+ U(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots , \vec{v}_n )\\
(aT)(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots , \vec{v}_n) &\overset{def}{=} aT(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots , \vec{v}_n) \\
\end{align}

定理
$T^{(m,n)}(V)$ はベクトル空間である。

証明
面倒なので省略
あとで書くかも

次にテンソル積を定義します。

定義
$T \in T^{(m,n)}(V) , U \in T^{(p,q)}(V)$ の間のテンソル積 $\otimes$ を以下のように定義する。
\begin{align}
T \otimes U: \overbrace{V^* \times V^* \times \cdots \times V^*}^{m+p}\overbrace{V\times V\times \cdots \times V}^{n+q} \rightarrow \mathbb{R}\\
\end{align}
で、 $\forall \tilde{p} \in V^* , \forall \vec{v} \in V$ に対して
\begin{align}
&T \otimes U(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{p}^{m+p}, \vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_{n+q})\\
&= T(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_n) U(\tilde{p}^{m+1}, \cdots, \tilde{p}^{m+p}, \vec{v}_{n+1}, \cdots, \vec{v}_{n+q})
\end{align}
を満たす。

定理
$T \in T^{(m,n)}(V) , U \in T^{(p,q)}(V)$ とする。
テンソル積 $T \otimes U$ は $(m+p,n+q)$ テンソルになる。

証明
$\forall i(1\leq i \leq m),\forall a,b\in\mathbb{R}$ に対して
\begin{align}
&\ \ \ \ \ \ T \otimes U(\tilde{p}^1, \cdots, a\tilde{q}^i+b\tilde{r}^i, \cdots, \tilde{p}^{m+p}, \vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_{n+q})\\
&= T(\tilde{p}^1, \cdots, a\tilde{q}^i+b\tilde{r}^i, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_n)U(\tilde{p}^{m+1}, \cdots, \tilde{p}^{m+p}, \vec{v}_{n+1}, \cdots, \vec{v}_{n+q})\\
&= (aT(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{q}^i, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_n) + bT(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{r}^i, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_n))U(\tilde{p}^{m+1}, \cdots, \tilde{p}^{m+p}, \vec{v}_{n+1}, \cdots, \vec{v}_{n+q})\\
&= aT(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{q}^i, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_n)U(\tilde{p}^{m+1}, \cdots, \tilde{p}^{m+p}, \vec{v}_{n+1}, \cdots, \vec{v}_{n+q})\\
&+ bT(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{r}^i, \cdots, \tilde{p}^m, \vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_n)U(\tilde{p}^{m+1}, \cdots, \tilde{p}^{m+p}, \vec{v}_{n+1}, \cdots, \vec{v}_{n+q}) \\
&= aT \otimes U(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{q}^i, \cdots, \tilde{p}^{m+p}, \vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_{n+q}) +bT \otimes U(\tilde{p}^1, \cdots, \tilde{r}^i, \cdots, \tilde{p}^{m+p}, \vec{v}_1, \cdots, \vec{v}_{n+q})\\
\end{align}
$m+1\leq i \leq m+q$ の場合や引数が $\vec{x}_j+\vec{y}_j (1 \leq j \leq n+q)$ の場合も同様に示せる。
$\square$

テンソル積ってのは(m,n)テンソルと(p,q)テンソルから新たに(m+p, n+q)テンソルを作り出す演算のことです。そう難しいことではないはず…です。たぶん。
次はテンソル空間の基底について。証明は煩雑なので結果だけ抑えてればいいかも。

定理
$V$ を $m$ 次元ベクトル空間、その双対空間を $V^*$ とする。
また、 $V$ の基底をひとつ選びそれを $\{ \vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots ,\vec{e}_m \}$ とし、双対基底を $\{ \tilde{\omega}^1,\tilde{\omega}^2,\cdots ,\tilde{\omega}^m \}$ とする。
このとき $\{ \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} \mid 1 \leq i_1,i_2, \cdots , i_p, j^1,j^2, \cdots , j^q \leq m \}$ は $T^{(p,q)}(V)$ の基底である。

証明
(1) $\{ \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} \mid 1 \leq i_1,i_2, \cdots , i_p, j^1,j^2, \cdots , j^q \leq m \}$ は線形独立である。
(2) 任意の $t \in T^{(p,q)}(V)$ は $\{ \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} \mid 1 \leq i_1,i_2, \cdots , i_p, j^1,j^2, \cdots , j^q \leq m \}$ の線形結合で表せる。
の2つを示せばよい

(1)の証明
線形独立の定義より
\begin{align}
a^{i_1 i_2 \cdots i_p}_{j_1 j_2 \cdots j_q} \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} = 0 \\
\Rightarrow ( \forall i_1, i_2, \cdots ,i_p,j_1, j_2, \cdots, j_q) a^{i_1 i_2 \cdots i_p}_{j_1 j_2 \cdots j_q} = 0
\end{align}
を示せばよい。
いま引数に $( \tilde{\omega}^{r^1} , \tilde{\omega}^{r^2} , \cdots , \tilde{\omega}^{r^p} , \vec{e}_{s_1} , \vec{e}_{s_2} , \cdots , \vec{e}_{s_q} ) (1 \leq ,r^1,r^2, \cdots , r^p, s_1,s_2, \cdots , s_q \leq m でそれぞれ任意)$ を指定すると、
\begin{align}
&\ a^{i_1 i_2 \cdots i_p}_{j_1 j_2 \cdots j_q} \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} (\tilde{\omega}^{r^1} , \tilde{\omega}^{r^2} , \cdots , \tilde{\omega}^{r^p} , \vec{e}_{s_1} , \vec{e}_{s_2} , \cdots , \vec{e}_{s_q} ) \\
&= a^{i_1 i_2 \cdots i_p}_{j_1 j_2 \cdots j_q} \vec{e}_{i_1}(\tilde{\omega}^{r^1})\vec{e}_{i_2}(\tilde{\omega}^{r^2})\cdots\vec{e}_{i_p}(\tilde{\omega}^{r^p})\tilde{\omega}^{j^1}(\vec{e}_{s_1})\tilde{\omega}^{j^2}(\vec{e}_{s_2})\cdots\tilde{\omega}^{j^q}(\vec{e}_{s_q})\\
&= a^{i_1 i_2 \cdots i_p}_{j_1 j_2 \cdots j_q} \delta_{i_1}^{r^1}\delta_{i_2}^{r^2} \cdots \delta_{i_p}^{r^p} \delta^{j^1}_{s_1} \delta^{j^2}_{s_2} \cdots \delta^{j^q}_{s_q} \\
&= a^{r_1 r_2 \cdots r_p}_{s_1 s_2 \cdots s_q} \\
&= 0
\end{align}
$r^1,r^2, \cdots , r^p, s_1,s_2, \cdots , s_q$ は任意だったので、したがって
\begin{align}
( \forall i_1, i_2, \cdots ,i_p,j_1, j_2, \cdots, j_q) \ a^{i_1 i_2 \cdots i_p}_{j_1 j_2 \cdots j_q} = 0
\end{align}

(2)の証明
\begin{align}
t(\tilde{\omega}^{r^1} , \tilde{\omega}^{r^2} , \cdots , \tilde{\omega}^{r^p} , \vec{e}_{s_1} , \vec{e}_{s_2} , \cdots , \vec{e}_{s_q}) = t^{r_1 r_2 \cdots r_p}_{s_1 s_2 \cdots s_q} \tag{a}
\end{align}
とおく。このとき
\begin{align}
& \ (t^{i_1 i_2 \cdots i_p}_{j_1 j_2 \cdots j_q} \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} )(\tilde{\omega}^{r^1} , \tilde{\omega}^{r^2} , \cdots , \tilde{\omega}^{r^p} , \vec{e}_{s_1} , \vec{e}_{s_2} , \cdots , \vec{e}_{s_q} )\\
&= t^{i_1 i_2 \cdots i_p}_{j_1 j_2 \cdots j_q} \delta_{i_1}^{r^1}\delta_{i_2}^{r^2} \cdots \delta_{i_p}^{r^p} \delta^{j^1}_{s_1} \delta^{j^2}_{s_2} \cdots \delta^{j^q}_{s_q} \\
&= t^{r_1 r_2 \cdots r_p}_{s_1 s_2 \cdots s_q} \tag{b}
\end{align}
(a)と(b)より
\begin{align}
& \ t(\tilde{\omega}^{r^1} , \tilde{\omega}^{r^2} , \cdots , \tilde{\omega}^{r^p} , \vec{e}_{s_1} , \vec{e}_{s_2} , \cdots , \vec{e}_{s_q}) \\
&= (t^{i_1 i_2 \cdots i_p}_{j_1 j_2 \cdots j_q} \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} )(\tilde{\omega}^{r^1} , \tilde{\omega}^{r^2} , \cdots , \tilde{\omega}^{r^p} , \vec{e}_{s_1} , \vec{e}_{s_2} , \cdots , \vec{e}_{s_q} )
\end{align}
すなわち
\begin{align}
t = t^{i_1 i_2 \cdots i_p}_{j_1 j_2 \cdots j_q} \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} \tag{c}
\end{align}
この式は任意の $t \in T^{(p,q)}(V)$ が $t^{r_1 r_2 \cdots r_p}_{s_1 s_2 \cdots s_q}$ を成分として $\{ \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} \mid 1 \leq i_1,i_2, \cdots , i_p, j^1,j^2, \cdots , j^q \leq m \}$ の線形結合で表せることを意味する。

以上(1)(2)を示したことにより、 $\{ \vec{e}_{i_1} \otimes \vec{e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes \vec{e}_{i_p} \otimes \tilde{\omega}^{j^1} \otimes \tilde{\omega}^{j^2} \otimes \cdots \otimes \tilde{\omega}^{j^q} \mid 1 \leq i_1,i_2, \cdots , i_p, j^1,j^2, \cdots , j^q \leq m \}$ は $T^{(p,q)}(V)$ の基底であることを示せた。
$\square$

(a), (c)から分かるとおり、テンソルの成分は引数に基底をとると得られます。
\begin{align}
t^{r_1 r_2 \cdots r_p}_{s_1 s_2 \cdots s_q} = t(\tilde{\omega}^{r^1} , \tilde{\omega}^{r^2} , \cdots , \tilde{\omega}^{r^p} , \vec{e}_{s_1} , \vec{e}_{s_2} , \cdots , \vec{e}_{s_q})
\end{align}

ふー疲れた。
とりあえずテンソルの代数的な側面だけをまとめました。
次は基底を変換したときにどういう変換規則になるのかをまとめます。

次回：テンソルを勉強する５（テンソルの変換規則について）

2017-11-21

テンソルを勉強する３（一次形式の変換について）

一般相対論を勉強するぞ物理・数学

前回に続き一次形式についてです。
今回は一次形式の基底と成分の変換性を調べます。テンソルを勉強する１（ベクトルについて）の一次形式版です。
{\displaystyle }

この記事のポイント

\begin{align}
\tilde{\omega}'^{\nu'} &= \Lambda'^{\nu'}_\mu \tilde{\omega}^\mu\\
p'_{\nu'} &= \Lambda_{\nu'}^\mu p_\mu \\
\tilde{\omega}^{\mu} &={\Lambda}^{\mu}_{\nu'} \tilde{\omega}'^{\nu'} \\
p_{\nu} &= {\Lambda'}^{\mu'}_{\nu} p'_{\mu'}
\end{align}

以下説明

まずはベクトルの変換規則をおさらいします。

ベクトルの基底と成分の変換則
$\vec{e}_\mu$ を基底ベクトル、 $A^\mu$ を成分、基底間の変換行列を $\Lambda$ 、その逆行列を $\Lambda'$ とするときに以下の関係式が成り立つ。

\begin{align}
\vec{e}_{\nu'} &=\Lambda^\mu_{\nu'} \vec{e}_\mu \tag{1}\\
A^{\nu'} &={\Lambda'}^{\nu'}_\mu A^\mu \tag{2}\\
\vec{e}_\mu &= {\Lambda'}^{\nu'}_{\mu} \vec{e}_{\nu'} \tag{3}\\
A^\mu &= \Lambda_{\nu'}^\mu{A^{\nu'}} \tag{4}\\
\\
{\Lambda'}^\nu_\lambda\Lambda^\mu_\nu &= {\Lambda'}^\mu_\nu\Lambda^\nu_\lambda = \delta^\mu_\lambda \tag{5}\\
\end{align}

いま、ベクトル空間 $V$ の基底を2種類選び、それらを $\{\vec{e}_\mu \}, \{\vec{e}'_{\nu'} \}$ とします。そして、それぞれの基底に対する双対基底を $\{\tilde{\omega}^\mu \}, \{\tilde{\omega}'^{\nu'} \}$ とします。
すると、任意のベクトル
\begin{align}
\vec{v}(\in V) = v^\alpha \vec{e}_\alpha = v^{\alpha'} \vec{e}'_{\alpha'}
\end{align}
に対し、
\begin{align}
\tilde{\omega}^\alpha(\vec{v}) &= v^\alpha \tag{6} \\
\tilde{\omega}'^{\alpha'}(\vec{v}) &= v^{\alpha'} \tag{7}
\end{align}
が得られます。（双対基底の定義より。前記事参照）

さて、 $v^\alpha, v^{\alpha'}$ の間には(2)の関係があるので、
\begin{align}
v^{\alpha'} &={\Lambda'}^{\alpha'}_\beta v^\beta \tag{2'}\\
\end{align}
が成り立ち、これに(6), (7)を代入すると
\begin{align}
\tilde{\omega}'^{\alpha'}(\vec{v}) &={\Lambda'}^{\alpha'}_\beta \tilde{\omega}^\beta(\vec{v}) \\
\end{align}
$\vec{v}$ は任意だったため、すなわち
\begin{align}
\tilde{\omega}'^{\alpha'} &={\Lambda'}^{\alpha'}_\beta \tilde{\omega}^\beta \tag{8}
\end{align}
となり、双対基底間の変換規則を得られます。

次に成分の変換規則を求めます。
任意の一次形式
\begin{align}
\tilde{p}(\in V^*) = p_\beta \tilde{\omega}^\beta = p'_{\alpha'} \tilde{\omega}'^{\alpha'}
\end{align}
に対し(8)を代入すると
\begin{align}
\Leftrightarrow p_\beta \tilde{\omega}^\beta &= p'_{\alpha'} ({\Lambda'}^{\alpha'}_\beta \tilde{\omega}^\beta )\\
\Leftrightarrow p_\beta \tilde{\omega}^\beta &= ( {\Lambda'}^{\alpha'}_\beta p'_{\alpha'} ) \tilde{\omega}^\beta
\end{align}
すなわち、
\begin{align}
p_\beta &= {\Lambda'}^{\alpha'}_\beta p'_{\alpha'} \tag{9}
\end{align}
となり、一次形式の成分の変換規則を求めることができました。

(8),(9)に ${\Lambda}^\mu_{\alpha'}$ をかけてやれば(5)の関係から
\begin{align}
\tilde{\omega}^{\mu} &={\Lambda}^{\mu}_{\alpha'} \tilde{\omega}^{\alpha'} \tag{10} \\
p_{\alpha'} &= {\Lambda'}^{\mu}_{\alpha'} p_{\mu} \tag{11}
\end{align}
が得られます。

次回：テンソルを勉強する（一般のテンソルについて）

2017-11-21

テンソルを勉強する２（一次形式について）

一般相対論を勉強するぞ物理・数学

この記事では一次形式について勉強します。一次形式は共変ベクトルや余接ベクトルとも言います。いろいろ言い方はあるみたいですが（そしてそれらは微妙にニュアンスが違うっぽいですが）、とりあえず以下では一次形式という呼び方で統一します。
一次形式をすごく大雑把に言ってしまえば、ベクトルを引数に取る線形の実数値関数です。ベクトルを実数に対応させる関数があって、しかもそれは線形関数になっている、というただそれだけです。一応以下にちゃんと定義しておきます。

定義
$V$ をベクトル空間とする。 $V$ 上の一次形式 $\tilde{p}$ とは $V$ から $\mathbb{R}$ への写像
\begin{align}
\tilde{p} : V \to\mathbb{R}
\end{align}
であって、 $\forall X,Y \in V$ と $\forall a,b \in \mathbb{R}$ について
\begin{align}
\tilde{p}(aX+bY) = a\tilde{p}(X) + b\tilde{p}(Y)
\end{align}
を満たすものである。

$V$ 上の一次形式にはいろんなものが考えられますね。たとえばどのベクトルにも0を対応させるもの（テキトーに $\tilde{p}^0$ と名付けます）だったり、ベクトルの絶対値を対応させるもの（同じくテキトーに $\tilde{p}^{abs}$ と名付けます）だったり…とまぁいろいろあるわけです。それら $V$ 上の一次形式を全てひっくるめた集合を $V^*$ と書くことにします。 $\tilde{p}^0,\tilde{p}^{abs} \in V^*$ ってわけです。

さて、ここで一次形式の間に和とスカラー倍を定義します。

定義
$\forall \tilde{p},\tilde{p}^1,\tilde{p}^2 \in V^*$ と $\forall a\in \mathbb{R}$ について
\begin{align}
(\tilde{p}^1+\tilde{p}^2)(X) &\overset{def}{=} \tilde{p}^1(X) + \tilde{p}^2(X)\\
(a\tilde{p})(X) &\overset{def}{=} a\tilde{p}(X)
\end{align}

これによって $V^*$ もまたベクトル空間になります。

証明
定義を確認すれば自明なので省略
いつか更新するかも

次に双対基底について解説します。
で、いきなり定義から入ります。

定義
任意の基底 $\{\vec{e}_\nu\}$ に対し、以下のような一次形式を定義する。
\begin{align}
\tilde{\omega}^\mu(\vec{e}_\nu) \overset{def}{=} \delta^\mu_\nu
\end{align}

このとき、一次形式の集合 $\{\tilde{\omega}^\mu\}$ は $V^*$ の基底になります。

証明
（１） $\{\tilde{\omega}^\mu\}$ が線形独立であること
（２） $V^*$ に属する任意の一次形式 $\tilde{p}$ が $\{\tilde{\omega}^\mu\}$ の線形結合、すなわち
\begin{align}
\tilde{p} = p_\mu \tilde{\omega}^\mu
\end{align}
で表せること
の2点を証明すれば、「一次形式の集合 $\{\tilde{\omega}^\mu\}$ は $V^*$ の基底になっている」ということを証明したことになります。
（１）の証明
基底の定義より
\begin{align}
a_1\omega^1 + a_2\omega^2 + ... + a_{\mu}\omega^\mu = 0 \tag{a}
\end{align}
と仮定して、
\begin{align}
a_\nu = 0 ~~~(\nu = 1,2,..,\mu) \tag{b}
\end{align}
になることを示せばよい。
(a)に引数として $\vec{e}_\nu$ （ $\nu$ は任意）を指定すると、
\begin{align}
a_\mu \omega^\mu(\vec{e}_\nu) &= 0 \\
\Leftrightarrow a_\mu \delta^\mu_\nu &= 0 \\
\Leftrightarrow a_\nu &= 0
\end{align}
となり、(b)が示せた $\square$

（２）の証明
任意の $\tilde{p} \in V^*$ に対して、 $\tilde{p}(\vec{e}_\mu) = p_\mu}\tag{c$
とおく。このとき、
\begin{align}
(p_\nu \tilde{\omega}^\nu)(\vec{e}_\mu) = p_\nu \delta^\nu_\mu = p_\mu \tag{d}
\end{align}
(c)と(d)を比べると、
\begin{align}
\tilde{p} = p_\mu \tilde{\omega}^\mu
\end{align}
$\tilde{p}$ は任意だったので、 $V^*$ に属する任意の一次形式 $\tilde{p}$ が $\{\tilde{\omega}^\mu\}$ の線形結合で表せることを証明できた。 $\square$

これにより任意の一次形式 $\tilde{p}\in V^*$ は $\{\tilde{\omega}^\mu\}$ の線形結合で書けることが分かります。
すなわち、
\begin{align}
\tilde{p} = p_\mu \tilde{\omega}^\mu
\end{align}
$p_\mu$ は成分であり、(c)から分かるとおり引数に基底ベクトルを取ると得られます。
$\{\tilde{\omega}^\mu\}$ のことを $\{\vec{e}_\mu \}$ の双対基底と言います。

次回：テンソルを勉強する３（一次形式の変換規則について）

2017-11-18

テンソルを勉強する１（ベクトルについて）

一般相対論を勉強するぞ物理・数学

これから何回かに渡ってテンソルのアレコレをまとめます。
テンソルって添字がいっぱいくっついていて、変換規則とか反変・共変とかがややこしいアレです。
このようなややこしいテンソルを「とりあえずこのルールだけ知ってれば何とかなるぞ」レベルに上げるのがこれからの目標です。

この記事のポイント

ベクトルの基底と成分の変換則
$\vec{e}_\mu$ を基底ベクトル、 $A^\mu$ を成分、基底間の変換行列を $\Lambda$ 、その逆行列を $\Lambda'$ とするときに以下の関係式が成り立つ。

\begin{align}
\vec{e}_{\nu'} &=\Lambda^\mu_{\nu'} \vec{e}_\mu\\
A^{\nu'} &={\Lambda'}^{\nu'}_\mu A^\mu\\
\vec{e}_\mu &= {\Lambda'}^{\nu'}_{\mu} \vec{e}_{\nu'}\\
A^\mu &= \Lambda_{\nu'}^\mu{A^{\nu'}} \\
\\
{\Lambda'}^\nu_\lambda\Lambda^\mu_\nu &= {\Lambda'}^\mu_\nu\Lambda^\nu_\lambda = \delta^\mu_\lambda
\end{align}

以下説明

あるベクトル ${\displaystyle \vec{A} }$ を座標系 ${\displaystyle x^\mu }$ で表すと
\begin{align}
\vec{A}
&= {A^0} \vec{e}_0 + {A^1} \vec{e}_1 +{A^2} \vec{e}_2 +{A^3} \vec{e}_3\\
&= \sum_{\mu=0} {A^\mu} \vec{e}_\mu\tag{1}
\end{align}
と、基底 ${\displaystyle \{\vec{e}_\mu\} }$ の線形結合で書けます。 ${\displaystyle A^\mu }$ は成分です。
同じ要領で、別の基底 ${\displaystyle \{\vec{e}_{\nu'} \} }$ を使って表すと
\begin{align}
\vec{A}
&= {A'^0} \vec{e'}_0 + {A'^1} \vec{e'}_1 +{A'^2} \vec{e'}_2 +{A'^3} \vec{e'}_3\\
&= \sum_{\mu'=0} {A^{\mu'}} \vec{e}_{\mu'}\tag{2}
\end{align}
となります。

このように任意のベクトルは基底と成分のセットを使って複数の表し方ができます。それと以後はアインシュタインの記法を使うことにします。（上付きの添字と下付きの添字で同じものがあったらそれらは和をとるっていうアレです。詳しくはググってください。）

さて、基底ベクトル ${\displaystyle \vec{e}_{\nu'} }$ も一つのベクトルですから座標系 ${\displaystyle x^\mu }$ で
\begin{align}
\vec{e}_0' &= \Lambda^0_0\vec{e}_0 +\Lambda^1_0\vec{e}_1 +\Lambda^2_0\vec{e}_2 +\Lambda^3_0\vec{e}_3\\
\vec{e}_1' &= \Lambda^0_1\vec{e}_0 +\Lambda^1_1\vec{e}_1 +\Lambda^2_1\vec{e}_2 +\Lambda^3_1\vec{e}_3\\
\vec{e}_2' &= \Lambda^0_2\vec{e}_0 +\Lambda^1_2\vec{e}_1 +\Lambda^2_2\vec{e}_2 +\Lambda^3_2\vec{e}_3\\
\vec{e}_3' &= \Lambda^0_3\vec{e}_0 +\Lambda^1_3\vec{e}_1 +\Lambda^2_3\vec{e}_2 +\Lambda^3_3\vec{e}_3\\
\end{align}
と、基底 ${\displaystyle \{\vec{e}_\mu\} }$ の線形結合で書けるはずです。
まとめて書けば、
\begin{align}
\vec{e}_{\nu'} = {\Lambda^\mu_{\nu'}} \vec{e}_\mu\tag{3}
\end{align}
となります。 ${\displaystyle \Lambda }$ は変換係数をまとめた行列になります。まとめて表すと以下のようになります。
\begin{align}
\begin{pmatrix}
\vec{e}_0'\\
\vec{e}_1'\\
\vec{e}_2'\\
\vec{e}_3'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
{\Lambda^0_0} & {\Lambda^1_0} &{\Lambda^2_0} &{\Lambda^3_0}\\
{\Lambda^0_1} & {\Lambda^1_1} &{\Lambda^2_1} &{\Lambda^3_1}\\
{\Lambda^0_2} & {\Lambda^1_2} &{\Lambda^2_2} &{\Lambda^3_2}\\
{\Lambda^0_3} & {\Lambda^1_3} &{\Lambda^2_3} &{\Lambda^3_3}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\vec{e}_0\\
\vec{e}_1\\
\vec{e}_2\\
\vec{e}_3
\end{pmatrix}
\end{align}

さて $\Lambda$ の逆行列を $\Lambda'$ とし、(3)の両辺に左からかけると、
\begin{align}
\vec{e}_\mu = {\Lambda'}^{\nu'}_{\mu} \vec{e}_{\nu'}\tag{4}
\end{align}
となります。
また逆行列の定義から
\begin{align}
{\Lambda'}^\nu_\lambda\Lambda^\mu_\nu = {\Lambda'}^\mu_\nu\Lambda^\nu_\lambda = \delta^\mu_\lambda\tag{5}
\end{align}
となります。

(3)を(2)に代入してやると
\begin{align}
\vec{A}
&= {A^{\nu'}} \vec{e}_{\nu'}\\
&= {A^{\nu'}} (\Lambda^\mu_{\nu'} \vec{e}_\mu)\\
&= (\Lambda_{\nu'}^\mu{A^{\nu'}} )\vec{e}_\mu\\ \tag{6}
\end{align}
(1)と(6)を比較すると
\begin{align}
A^\mu = \Lambda_{\nu'}^\mu{A^{\nu'}} \tag{7}
\end{align}
という変換をすることが分かります。

${\displaystyle {\Lambda'}^{\lambda'}_\mu }$ を(7)の両辺にかけると、
\begin{align}
{\Lambda'}^{\lambda'}_\mu A^\mu = {\Lambda'}^{\lambda'}_\mu\Lambda_{\nu'}^\mu{A^{\nu'}}\\
{\Lambda'}^{\lambda'}_\mu A^\mu = \delta^{\lambda'}_{\nu'}{A^{\nu'}}\\
{\Lambda'}^{\lambda'}_\mu A^\mu = {A^{\lambda'}}\\
\end{align}
添字を入れ替えてやれば、すなわち
\begin{align}
A^{\nu'} = {\Lambda'}_\mu^{\nu'}{A^\mu} \tag{8}
\end{align}